Se utilizzi un account POP3 la posta inviata la vedi solo sul dispositivo o nel programma che utilizzi per l'invio.
Se la invii direttamente da Thunderbird la vedrai solo nella posta inviata di Thunderbird per quell'account, se la invii dal pc dalla casella webmail la vedrai solo entrando nel tuo account webmail dal pc (non la vedi in Thunderbird o sul cellulare) ecc.
Tutto ciò è sicuramente esatto a livello generale.
C'è un'eccezione per quanto rigaurda Gmail: la posta inviata dal Web viene poi scaricata anche dal client POP3 ed accade anche il contrario, cioè la posta spedita dal client viene salvata sulla webmail.
Questo perché in pratica Gmail salva automaticamente una copia in "Posta inviata" quando spedisce e tratta la "Posta inviata" come se fosse "Posta in arrivo".
E' un sistema molto confusivo perché è diverso da qualsiasi altro sistema POP3 ed è organizzato in modo non molto razionale. L'ho indicato solo per motivi di informazione, non è assolutamente un'alternativa ad IMAP se serve di avere tutta la posta su più dispositivi.
Comunque quando si raggiunge il limite con un account IMAP si può fare questo: si crea una nuova cartella locale in Thunderbird e si spostano un po' di mail dalla "Posta in arrivo" dell'account IMAP (o dalle altre cartelle) alla cartella locale.
In questo modo lo spazio sul server viene liberato.
Ovviamente le mail archiviate così possono essere lette solo sul pc dove è stata effettuata l'operazione.