Ho scaricato l'estensione ImportExportTools e dopo parecchi tentativi non riusciti, perchè non avevo mai usato la predetta estensione, sono riuscito a scaricare tutte le mail nel nuovo accaunt di posta.
Per quanto riguarda l'invio della posta che non veniva più effettuata, il problema l'ho risolto cambiando il numero del server in uscita da 587 a 25.
Non riesco a spiegarmi perchè questo è accaduto. Nell'impostazioni account server in uscita SMTP trovo: Alice Italy - out.alice.it (Predefinito).