Una precisazione d'obbligo: la tua casella di posta è comunque sempre accessibile da web, con qualsiasi operatore.
Per ora, io uso gmail per 1 solo dei 5 account che ho (3 Alice, 1 Libero), non ci sono problemi però non so fino a quando dura. L'accesso da web nessuno lo può bloccare solo l'accesso dal client e proprio perché tale accesso esclude tutto il contorno pubblicitario di un sito web.