La seconda domanda non la so, dovresti scrivere direttamente allo sviluppatore se non trovi niente nelle opzioni di Gmail Checker
Quanto alla sicurezza del memorizzare la password, la questione è a un livello decisamente diverso: l'estensione utilizza un sistema di cifratura, per salvare la password, il punto è che se lasci incustodito il pc, chiunque potrebbe leggere la tua email aprendo firefox. Questo vale per ogni password salvata, incluse quelle dei forum e simili.
Se il computer lo usi solo tu, oppure hai un tuo utente personale sulla macchina se è usata da più persone, sarebbe più sicuro mettere una password all'accesso del tuo account, e una al salvaschermo