Per semplificare tutto ciò che è stato detto finora le cose che mi vengono in mente sono:
L'appoggio delle caselle dei vari gestori sull'imap di Google potrebbe richiedere una password di Google Apps anziché quella dei singoli gestori. Se così non è significa che tali account si presentano al sistema con le loro credenziali originali soggette al blocco.
Escludendo quanto sopra ricadiamo nei blocchi imposti dai gestori. Ricordo a proposito che alcune caselle Virgilio presentano il blocco anche rispetto a connessioni ad internet facenti capo a gestori del gruppo Telecom. Esse subirono negli anni incorporazioni e scorporazioni con conseguenze anche tecniche. Parlo per averle sperimentate.
Se non hai speranza in tal modo l'unica è cercare la possibilità di inoltro messaggi (se previsto dal tuo gestore di posta) ad un indirizzo Gmail "puro" che non dia problemi di configurazione su Thunderbird.
Altra soluzione è utilizzare le opzioni di recupero della mail via pop. Molti gestori la offrono. Google fra tutti. Ho notato tuttavia che spesso i gestori che impongono il noto blocco, non consentono il recupero della posta nemmeno attraverso questa modalità.