Sospetto che il problema possa dipendere da questa novità della versione 96.
Firefox changes how cookies are handled that come from the same domain but use different schemes, e.g. HTTPS and HTTP. The sites are considered different "with respect to the cookie SameSite directive".
Fai questo test per verificare se è così.
Cerca questi parametri in about:config e cambia il loro valore da true a false.
network.cookie.sameSite.laxByDefault
network.cookie.sameSite.noneRequiresSecure
network.cookie.sameSite.schemeful
Se non sai come procedere segui questa guida:
https://support.mozilla.org/it/kb/editor-configurazione-firefoxSe non cambia nulla reimpostali a true.
Se il problema si risolve proveremo a mettere quello specifico sito fra le eccezioni.