Buonasera.
A quanto mi risulta, non è possibile ricevere nessun tipo di avviso, con nessun Client di posta, se prima non apri il programma e in seguito lo riduci ad icona. Non penso esista neppure nessuna estensione che permetta quanto chiedi. Di logica, per ricevere un avviso si presume che qualcosa (il Client) sia attivo per ricevere un messaggio (è come voler parlare ad una persona ma questa non ti sente-ascolta, è sconnessa
).
Alcune webmail, alle quali penso tu fai riferimento, hanno questa (pseudo) funzione in quanto aprendo il browser di fatto apri anche la webmail, seppur tu non la vedi di fatto è attiva.