Ciao, vado un po' per tentativi...
Innanzitutto, di che account si tratta (a quale gestore di posta fa riferimento) e chi è il tuo Internet Service Provider?
Per quell'account utilizzi programmi tipo FreePops o Webmail per bypassare le restrizioni di quel gestore?
Te lo chiedo perché mi è capitato con FreePops di non accorgermi che si era disattivato e alcune volte (non
si sa in base a quale particolare condizione) non mi veniva restituito alcun messaggio di errore.
Inoltre, hai provato a collegarti alla casella di posta di quell'account via web e verificare che non ci sia un messaggio malformato che blocca lo scaricamento?
Una prova che potresti fare (mi rendo conto che è "pallosa" se conservi moltissimi messaggi): nella casella di posta sul web, spostare tutti i messaggi vecchi in una sottocartella in modo che non vengano scaricati e poi provare a vedere se Thunderbird continua a non scaricare quando arriva un nuovo messaggio (o te ne auto-invii uno o te ne fai inviare da qualcuno).
Ripeto, sono solo dei tentativi in attesa dei suggerimenti di qualcuno che abbia le idee più chiare.