Se non erro quella finestra è l'equivalente della finestra dei download di Firefox
Vai in Strumenti-->Opzioni-->Avanzate-->Generale-->Editor di Configurazione
nel campo filtro scrivi
browser.download.manager.showWhenStarting
che valore ha il parametro?
Se non fosse impostato a false, impostalo facendo clic con il tasto destro sulla relativa voce.
Chiudi Thunderbird. Hai risolto?