Non mi risulta che ci sia la possibilità di impostare qualcosa direttamente in Firefox per chiedere una password di accesso a Firefox prima dell'avvio del browser (credo di non sbagliarmi).
Forse puoi impostare qualcosa a livello di sistema operativo ma non utilizzo Windows quindi non posso suggerire come fare (ammesso che si possa fare).
Nel mio caso, visto che sono l'unico utilizzatore del computer, non esco mai dal mio account Gmail e quindi ogni volta che dopo aver avviato Firefox vado nella posta Gmail via browser, la posta si apre senza necessità di inserire le credenziali di accesso (nome utente e password).
Se tu ogni volta esci dal tuo account Gmail facendo il "logout" e al successivo accesso alla posta Gmail non ti vengono richieste le credenziali di accesso, allora è un problema, ma se non fai il logout ogni volta che termini l'utilizzo della posta e alla successiva sessione entri nuovamente nella posta Gmail, allora non ti vengono chieste le credenziali di accesso. Non è colpa di Firefox ma è il normale comportamento di Gmail (discutibile o meno).
Curiosità: ma davvero utilizzi la versione 56 di Firefox come mostrato sotto il tuo nickname nei tuoi messaggi?